des calculs et des traçages

pense-bête mathématiques pour vérifier les croquis de nos moteurs, traçages de petite chaudronnerie ou autre

Cliquez pour agrandir l'image
Des calculs ? Il en faut quelques-uns ... Aussi voici un pense-bête pour se rafraîchir la mémoire avec des exemples  . Et aussi, quelques traçages familiers.

Certains diront que la trigo ... Un petit truc que j'emploie régulièrement, plus communément appelé "moyen mnémotechnique" et que m'apprit il y a bien longtemps un merveilleux professeur de maths :

pour cosinus, penser COSAD= côté adjacent / hypoténuse ; pour sinus , penser SINOP = côté opposé / hypothénuse ; et pour tangente , penser TANGENTOPAD = côté opposé / côté adjacent et ... tout devient simple  ou tout au moins on s'en souvient!

1 - des calculs : un pense bête pour se rafraîchir la mémoire !

Voici, pour l'instant, ce dont j'ai eu à me servir ...

Petit guide de lecture : en face de l'angle (A, B, C) se trouve le côté à considérer (a devant A, b devant B, c devant C)
Cliquez pour agrandir l'image
surface d'un disque :
S = Π x r2
Cliquez pour agrandir l'image
volume d'un cylindre :
V = S x h
Cliquez pour agrandir l'imagele triangle rectangle
relations entre côtés :
a2 = b2 + c2
et b2 = a2 - c2 , et c2 = a2 - b2
trigonométrie :
Sinus d'un angle = côté opposé à l'angle / hypoténuse
Cosinus d'un angle = côté adjacent à l'angle / hypoténuse
Tangente d'un angle = côté opposé à l'angle / côté adjacent à l'angle

Sin C = c / a ; Sin B = b / a
Cos C = b / a ; Cos B = c / a
Tang C = c / b ; Tang B = b / c

Cliquez pour agrandir l'image
les angles
Cliquez pour agrandir l'imagela tangente au cercle détermine un angle droit avec le centre de ce cercle.
Cliquez pour agrandir l'imagele triangle quelconque
la somme des angles est égale à 180° : A + B + C = 180°
Cliquez pour agrandir l'image
le centre du cercle circonscrit et son rayon R = OA, ou OB, ou OC
Cliquez pour agrandir l'imagetrigonométrie dans le triangle quelconque :
loi des sinus
a / Sin A = b / Sin B = c / Sin C = 2 R (rayon du cercle circonscrit à ABC)

loi des cosinus
a2 = b2 + c2 -  2 b c Cos A
b2 = c2 + a2  - 2 c a Cos B
c2 = a2 + b2 -  2 a b Cos C

Cos A = [ b2 + c2 - a2 ] / 2 b c
Cos B = [ c2 + a2 - b2 ] / 2 c a
Cos C = [ a2 + b2 - c2 ] / 2 a b

trigonométrie : cosinus et sinus de l'angle obtus

Cliquez pour agrandir l'imagelignes trigonométriques d'un angle obtus
le Cosinus d'un angle obtus est égal à l'opposé du cosinus (et de la tangente) de son supplément

exemple :
cos 150°  = - Cos (180° - 150°) = - Cos 30°,  soit  - 0,866
tang 150° = - tang (180° - 150°) = - tang 30° , soit  - 0.577

le Sinus d'un angle obtus est défini comme le sinus de son supplément

exemple :
Sin 150° = Sin (180° - 150°) = Sin 30° , soit 0.5


Un des sites où je me suis "ressourcé" :
http://www.mathsgeo.net


Un autre site, celui de Patrice DEBART tout aussi intéressant pour la remise à niveau et pour aller ... très loin :
http://debart.pagesperso-orange.fr/index.html


application des formules précédentes à un moteur oscillant à double effet


Le dessin fait à la main, on ne peut le nier, a des limites.
Les quelques formules relevées si-dessus permettent de vérifier et calculer  tout ce que dont on a besoin dans nos moteurs.

Cliquez pour agrandir l'image

On a donc procédé à une petite étude permettant d'avoir une idée du moteur désiré :

. le diamètre du cylindre sera de 0.8 cm intérieur, la course sera de 10 mm, soit pour un double-effet, un moteur de 1 cm3
. le diamètre des trous du cylindre ou sabot n'est pas un choix critique à ce moment, on le calculera ensuite
. par contre, il est important de choisir le diamètre du centre d'oscillation des trous du cylindre : 18 dans ce cas . On y place le piston au PMH (a) et PMB (a); le piston dont la hauteur fixée pour l'instant pourra ensuite être ajustée selon le diamètre des trous choisi.
. on a calculé les besoins d'espace de la partie basse : hauteur du bouchon bas (c = 3 fois le diamètre de la tige du piston); la hauteur de la chape avec son contre-écrou (e) et une marge entre le haut de la chape et le bouchon (d = 1.5 ou 2 mm)

Il semblerait que la distance entre O et O' soit de 27.5 mm !
Les calculs qui vont suivre permettront de vérifier si ce choix est valable.

Tous les calculs sont faits à partir d'une calculette de bazar et d'une table trigonométrique (comme je le faisais il y a plus d'un demi siècle) et les résultats peuvent être , très, légèrement différents de ceux obtenus avec une calculette scientifique dont je n'ai pas envie d'apprendre à me servir ! Na!
Cliquez pour agrandir l'imagecalcul de l'angle AOO'
Dans AOB, triangle rectangle, OO'2 = O'A2 + OA2  ... et OA = 27.04

La tangente de l'angle AOO' est égale à O'A / OA = 0.1849 ... et l'angle α = 10°30'
Cliquez pour agrandir l'imagecalcul de "c" dans ABC

Dans le triangle quelconque ABC (en réalité isocèle !), c2 = a2 + B2 - 2 a b Cos C (loi des Cosinus)
>  le Cos C (α) est celui de 10°30' (opposition des angles),  soit 0.9825

et on obtient "c" = 1.6474 arrondis à 1.65
Cliquez pour agrandir l'imageUne occasion de vérifier par le calcul, le développement simpliste que je faisais, à savoir le peu de différence entre prendre la courbe ou la perpendiculaire, tout au moins à cette échelle.
Si on néglige la courbe, on obtient le croquis ci-contre et, tang C = AB / BC = 1.1849  et AB, soit c = 1.664
Une différence de 0.0167 !
Cliquez pour agrandir l'imageNouvelle étape importante, la détermination du diamètre du trou du cylindre.
Avec 1.65 x 2, soit 3.3, on a largement la place pour placer un trou de diamètre 1.5.

On aura le choix entre des trous de 2 sur le bâti à 2 de l'axe, ou de 2.5 à 2.5 de l'axe  pour obtenir une bonne Admission et un bon Echappement avec une fermeture totale de 0.5, soit 0.25 de part et d'autre entre les lèvres des trous.

calcul de l'angle ACB
Dans le triangle quelconque ACB, Cos C = a2 + b2 - C2  / 2 a b ,
et Cos C = 0.9938 soit, 6°20' pour l'angle C
Cliquez pour agrandir l'imagecalcul de l'angle mort
Cet angle, pour obtenir un bon fonctionnement, ne doit jamais être supérieur à 90°).

Dans le triangle quelconque ABC,  c / Sin C = b / Sin B (loi des Sinus)
> Sin C est le Sin de 6°20' (opposition des angles)soit 0.11031
et SinB est égal à 0.6067 soit B = 37°20' 

β est égal à C = B = 43°40

et l'angle mort est de 87°20'

Cliquez pour agrandir l'imagecalcul de AC sans le dessin en partant par exemple d'un angle mort de 84°
l' Angle B est égal à 180° - (A + C) =
l' Angle A est égal  à 180° - 84°/2 = 138° et B = 35°40

c / Sin C = b / Sin B (loi des Sinus)et "b" = 26.42 qu'on arrondira à 26.5.

Il restera à vérifier que cette cote permet la placement du bouchon, de la chape et de la marge. Dans le cas présent, c'est un peu juste ou alors on rogne sur le bouchon au détriment de l'étanchéité et sur la chape ...
Avec un angle mort de 82°, on arrivera à 26 mm : plus on réduit l'angle, et plus on réduit la cote !



Cliquez pour agrandir l'image



le diagramme complet, ou tout au moins pour un des deux déplacements du piston ...

Cliquez pour agrandir l'image

calcul de l'angle O

Avec c = 27.5, a = 5 et un angle A de 6°20 (Sin A = 0.11031) on aura :
c / Sin C = a / Sin A et Sin C = 0.6067 soit 37°20

C étant un angle obtus, la valeur de l'angle obtenu est son supplément et C = 180° - 37°20 = 142°40

Dans le triangle AOC, l'angle O = 180° - (A + C) = 31°

Le calcul du diagramme est donc complet et :
OE- FE = 62)
FA-OE = 87°20
OA-FA et OE-FE = 105°20

2 - des traçages 

On peut être amené à dessiner quelques traçages particuliers, voici ceux que j'ai utilisés jusqu' à présent ... Pour certains, il faudra cependant quelques calculs !
Cliquez pour agrandir l'image

division d'un cercle en 3, 6, 12, 24, ...


Cette division, quand on ne possède pas de plateau diviseur, permet de prévoir l'emplacement des trous sur un couvercle de cylindre, voire de se préparer un diviseur !

1 - tracer AB passant par O
2 - porter le rayon AO puis OB sur le cercle pour obtenir les divisions en 3 ou en 6
3 - la bissectrice de OD de l'angle AOC donnera 12 divisions
4 - la bissectrice OE de l'angle DOC donnera  24 divisions 
Cliquez pour agrandir l'image

division d'un cercle en 5, 10, ...


Petit traçage intéressant pour les couvercles de cylindre d'un diamètre important et qui permet, si on utilise un tube soudé sur un sabot, de visser dans le sabot et non à cheval sur la soudure ... Possibilité aussi de se faire un diviseur.

1 - tracer le diamètre AB passant par O
2 - tracer CD : perpendiculaire à AB passant par O
3 - porter O' à mi-distance de O et B (OO' = O'B)
4 - avec O'C comme rayon, porter le point E
5 - le rayon CE devient le diviseur du cercle en 5 parties et en traçant les bissectrices, on obtiendra 10, 20, ... divisions
Cliquez pour agrandir l'image

traçage d'un cône


Cette fois, j'ai décidé d'abandonner le gabarit qui, après maintes découpes finissait par donner, plus ou moins satisfaction. Une méthode de traçage qui va, avec l'aide du calcul, déterminer exactement la portion de circonférence à enlever et obtenir un cône dont la hauteur et le diamètre ont été préalablement définis.

1 - dessiner le cône en coupe en portant sa hauteur et son diamètre
2 - repérage d'une génératrice
3 - traçage d'un cercle ayant comme rayon la longueur de la génératrice
4 - déterminer l'angle à porter au sommet pour obtenir la découpe

En fait, il va falloir déterminer la portion du cercle à éliminer : on commencera par comparer les diamètres du cône terminé et celui du cône développé puis on transformera cette portion en degrés.

Cliquez pour agrandir l'image. si H = 2 et D = 8, AB = 2 et AC = 4
. dans ABC rectangle, BC² = AB² + AB² et BC = 4.472
. le périmètre du cercle de G = (4.472 x 2) = 28.034
. périmètre du cercle de D = 8 x 3014 = 25.12

la différence entre la longueur de ces deux cercles est de 28.084 - 25.12 = 2.964 et dans le cercle de G, il existe 28.084 / 2.964 = 9.475 portions égales à 2,964
ou encore, dans 360°, il existe 360 / 9.475 = portions de 38°
et il suffit d'en enlever une pour obtenir notre cône !

Pour ce genre de calculs, il vaut mieux aller jusqu'à la 3ème décimale que l'on pourra arrondir.
Cliquez pour agrandir l'image

traçage d'un tronc de cône

Une opération un peu identique à la précédente puisqu'on va calculer quelle portion de cercle enlever pour obtenir le tronc de cône défini.

Commencer par tracer la coupe du tronc de cône puis calculer OA, le rayon du cercle dans lequel s'inscrira notre tronc de cône :
. pour l'exemple, H = 4, D1 = 6 et D2 = 2, donc AB = 3, CD = 1 et CB = 4
. tracer CE parallèle à OA, d'où EA = 1 et BE = 2
. par rapports, OB/AB = CB/BE et OB/3 = 4/2  et OB = 6
. dans OBA rectangle, OA = 6.71

Calcul de l'angle
. le cercle du tronc de cône développé qui passe par A et de rayon 6.71 a un périmètre de 42.1388 = 42.14
. le cercle de notre tronc de cône terminé à 6 de diamètre a un périmètre de 18.84

dans le périmètre passant par A, il y a donc 42.14 / 18.84 = 2.24 portions  de notre tronc de cône terminé
et la portion à garder pour obtenir notre tronc de cône sera de  360° / 2.24 = 161°


Cliquez pour agrandir l'image
traçage :

1 - traçage de la coupe du tronc de cône en prolongeant les côtés
2 - traçage des cercles du haut et du bas en passant par les angles
3 - porter l'angle obtenu et découper ...
Cliquez pour agrandir l'image
Cliquez pour agrandir l'image

trouver le centre d'un cercle


Une opération plutôt simple même sur une tôle sans repères, rond de tôle de récupération par exemple :
1 - couper le cercle d'une droite et partager le segment en deux
2 - élever la perpendiculaire à ce segment à l'aide du compas en partant de A et B
3 - couper le cercle par une autre droite et partager le segment en deux
4 - élever la perpendiculaire à ce segment ...

Le centre O se trouve à l'intersection des deux perpendiculaires.
Cliquez pour agrandir l'image

tracer une coulisse : des calculs dans le cercle

En connaissant deux dimensions, il sera facile de trouver celle qui manque comme par exemple la corde d'un arc (C) : une petit problème que l'on rencontre lors du dessin d'une coulisse. Egalités du triangle rectangle ...
Pour elle, si on connaît cette corde (C) et l'excentrique (F), on peut en déduire le rayon du cercle à tracer (R).

Dans ce cas, se rappeler que ( R - F )² = R² - 2 RF + F²

calcul d'une cale pour réaliser un excentrique

Cliquez pour agrandir l'imageL'excentrique sera obtenu au tour avec le mandrin à trois mors, ce qui suppose l'usinage d'une cale.

Sur le Web, j'ai trouvé cette formule : épaisseur de la cale = X x (2/3)
X est la valeur de l'excentrique multiplié par 2 : si l'excentrique désiré est de 2, X = 2 x 2 = 4 et notre cale devra faire 4 x (2/3) = 2.66 d'épaisseur

Voir une réalisation pratique dans cet

album

3 - les cotes anglaises : re-dessiner un plan anglais

Cliquez pour agrandir l'imageLes plans de nos amis anglais foisonnent sur le Web, mais la majorité est traitée en mesures anglaises et c'est bien gênant quand il faut traduire cela en français saxhant que le pouce est égal à 25.4 mm !

C'est Patrick LECLERE qui m'a rappelé ce truc : on considère que le pouce est égal à 32 mm et tout devient simple.

Certes le projet qu'on va dessiner sera un peu plus grand que l'original, mais ce n'est pas bien grave.

Voici un exemple pris à partir d'un bon plan anglais : Vertical Reversing Woddler que l'on peut télécharger facilement.
La première pièce, celle du bâti, avec la cotation anglaise :
Cliquez pour agrandir l'image
La même, dessinée à l'échelle 1 en cotation française :
Cliquez pour agrandir l'image

pour le perçage

pour le perçage c'est un peu plus délicat, il va falloir rechercher le diamètre de notre foret le plus près possible de celui noté sur le plan en tenant compte de notre léger agrandissement.

Un travail qui peut paraître fastidieux mais, sur un plan, les diamètres se retrouvent à plusieurs reprises. Il suffit de se confectionner un tableau qui pourra resservir pour un autre moteur...

Voici un lien conduisant à une des nombreuses tables de conversion disponibles sur internet :
http://academic.evergreen.edu/projects/biophysics/technotes/fabric/drill_conv.htm

Généralement, pour le moteur, on se contentera de diamètres standards : 0.5, 1, 1.5, ... 3, 4, ...
Mais on peut aussi avoir recours à des forets qui existent et sont calibrés de 1/10ème en 1/10ème et que l'on trouve par exemple chez l'OCTANT :
http://www.octantenligne.com/downloads/foretunite.pdf

correspondance des trous anglais et du système décimal

Un document que je viens de retrouver dans mon "foutoir". Le tableau n'est pas bien net mais en l'agrandissant, il est exploitable.

On percera au 1/10ème supérieur.
Cliquez pour agrandir l'image

deux documents à télécharger :

offerts par Patrick LECLERE - cliquer sur les gifs pour le téléchargement ou l'enregistrement

des tables que l'on peut imprimer et utiliser pour faciliter les conversions

. ce fichier Excel qui permet de générer toutes les feuilles de conversion que l'on souhaite pour les longueurs


Vous cherchez des caractères grecs pour vos scripts html , allez sur ce lien (une information issue du site ToWeb : Laurents)
http://www-rocq.inria.fr/qui/Philippe.Deschamp/divers/isogrec-1.html

album à compléter au fil des réalisations ... 

Des erreurs ? Des commentaires ? Des questions ?  ...  écrivez-moi


Copyright (C) 2008-2018 Tous droits réservés.albums mis à jour le : jeudi 13 décembre 2018